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板チョコはホントに無限に食べられるだろうか?
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先日twitterで、パフォーマー・数学講師の池田洋介さん(@ikeikey)が、
「【ライフハック】板チョコを無限に食べる方法」というツイートをされていた。

クリックすると元のツイートを開きます


板チョコをパキパキと折り、動かすと…なんと最初より板チョコが1マス分増えてるじゃないか…!?
私も板チョコのかわりにメモ用紙を切ってみたけど、ものすごく不思議。

いったいチョコレートはどうやって増えたのだろう?
ちょっと検証してみた。

以下の手順では、わかりやすいように元ネタとカットする順番を入れ替えている。
でも、結論は一緒。

まず、板チョコを以下の線のようにカットする。
それぞれの長さを a, b, a' , b', c, l1, l2とおいてみる。
a<b , a' < b' であること。

 

今回は、クマのコックさんに登場してもらおう。
 

いえーい。


そして、上2つの断片を入れ替える。

 

(手がチョコでべとべとになるね)


そうすると↓の図のようになるわけだ。


右上の断片が上に出っ張っているので、出っ張ったところをカットする。
左上と右上の断片の高さが一致するようにカットしてみよう。
そのためには…
 

出っぱった分を半分にすりゃいい


そう、右上の出っ張ったところから、(b-a')/2だけカットしてやればイイんだね。

 

お、板チョコが増えた!!??


ところで本当に増えたんだろうか?

そもそも何で驚いたのかを考えてみる。
「もともとの板チョコに、小さなチョコが生えてきたから」だ。

では、もともとの板チョコと、大きくなった板チョコを比較してみよう。



まず横の長さはbefore、afterともに l1+l2 で変わらない。
(左右の断片を交換しただけだから)

問題は縦の長さだ。

[検証1] 縦の長さは同じか?

beforeの縦の長さから、afterの長さを引いてみる。
 

 a+b - {a+c+( b-a' )/2} = (a' +b)/2 - c


c はbeforeの図から求めると、以下のような式となるから、

これを代入すると、答えは、

この符号が「+(正)」なら、afterの方が縦の長さが (a' +b)/2 - c だけ縮んでいる。
0なら縦の長さに変化はないし、
「-(負)」ならば逆に (a' +b)-c だけ伸びていることになる。
これを整理していくと l1 > l2 の時、上記の式が正となることがわかる

ここでl1 と l2 を考えてみる。

もしl1<l2とすると、下の図のようにチョコは逆にへっこんでしまう(※)。



 

ここ間違えると手品も失敗だよ


つまり板チョコが大きくなる時、必ず l1 > l2 である。
また、l1 = l2 にすると、beforeとafterで板チョコの形状が変化せず、全く盛り上がらない結果となるので、これも無しである。

ということで、板チョコの縦の長さは、beforeよりafterの方が
 (a' +b)/2 - c = (a'+b-2c)/2 だけ縮んでいることがわかった。

[検証2] でっぱりはどこからきたか?

afterの横に出てきたチョコは、どこからきたのか。
縦の長さが縮んでできた面積と一致するのではないか?

afterで縮んだ分の面積(A): (a'+b-2c)/2 * (l1+l2)
afterで横にでっぱった面積(B): (b-a')/2 * (l1-l2)

これを整理すると、最後は(A)=(B)になる。
つまり「縦の長さが縮んでできた面積分、横にチョコが出っぱった」ことが分かる。

なーんだ、残念。。
でも、ひとつぶ多く食べた気になれるから、ダイエット中は良いんじゃないかな?


(※) l1 < l2 と切ると、左上で欠けた板チョコは消えたわけでなく、その面積分縦に伸びる。

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| 調べてみよう | 17:47 | comments(2) | - |
この手品、ブロック数は減っていないように見えるところが 面白いですよね。
明治チョコでも出来そうなので、友人にやって見せたいと思います。

ps
解説のクマさん、とってもカワイイです!
| mew | 2014/02/18 4:52 PM |
mewさん
コメントに気づかず、長らくお返事できずにごめんなさい!
スキャナが手元になかったため、今回のクマの絵はノートに描いたものをデジカメで撮影して使用しました。コメント、ありがとうございます!
| 外口慶樹 | 2014/04/15 9:51 PM |









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